已知函數f(x)=x3-3ax(a∈R).(1)當a=1時,求f(x)的極小值.(2)若直線x+y+m=0對任...

問題詳情：

已知函數f(x)=x3-3ax(a∈R).

(1)當a=1時,求f(x)的極小值.

(2)若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線,求a的取值範圍.

【回答】

【解析】(1)當a=1時,f′(x)=3x2-3,

令f′(x)=0,得x=-1或x=1.

當x∈(-1,1)時,f′(x)<0,

當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,f′(x)>0,

所以f(x)在(-1,1)上單調遞減,在(-∞,-1],[1,+∞)上單調遞增,

所以f(x)的極小值是f(1)=-2.

(2)方法一:f′(x)=3x2-3a,直線x+y+m=0,

即y=-x-m.

依題意,切線斜率k=f′(x)=3x2-3a≠-1,

即3x2-3a+1=0無解.

所以Δ=0-4×3(-3a+1)<0,所以a<.

方法二:f′(x)=3x2-3a≥-3a,

要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線,若且唯若-1<-3a時成立,所以a<.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題