已知函數f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R)(1)當a=1時,求f(x)的單調區間.(2)是否存...

問題詳情：

已知函數f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R)

(1)當a=1時,求f(x)的單調區間.

(2)是否存在實數a,使f(x)的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請説明理由.

【回答】

【解析】(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex,

當f′(x)>0時,解得x<-2或x>-1,

當f′(x)<0時,解得-2<x<-1,

所以函數的單調增區間為(-∞,-2),(-1,+∞);單調減區間為(-2,-1).

(2)f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0,

所以x=-a,或x=-2,

列表如下:因為a≤2,所以-a≥-2.

由表可知

f(x)極大=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,

解得a=4-3e2≤2,所以存在實數a≤2,使f(x)的極大值為3.

知識點：導數及其應用

題型：解答題