如图，在直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋2与x轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于点M(1，m)．(1)...

问题详情：

如图，在直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋2与x轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于点M(1，m)．

(1)求m，b的值；

(2)已知点N，点M关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s(s＞0)个单位长度．若线段MN与抛物线有两个不同的公共点，试求s的取值范围；

(3)利用尺规作图，在该抛物线上作出点G，使得∠AGO＝∠BGO，并简要说明理由．(保留作图痕迹)

【回答】

解：(1)把M(1，m)代入y＝2x得m＝2×1＝2，

把M(1，2)代入y＝－x2＋bx＋2得2＝－12＋b＋2，即b＝1；

(2)由(1)得y＝－x2＋x＋2，M(1，2)，

因为点N，点M关于原点O对称，所以N(－1，－2)，

如解图①，过点N作CN⊥x轴，交抛物线于C，则C的横坐标为－1，

所以C的纵坐标为－(－1)2＋(－1)＋2＝0，

第25题解图①

所以C(－1，0)与A重合，

则CN＝AN＝2，即当s＝2时线段MN与抛物线有两个公共点，

设平移后的直线表达式为y＝2x＋s，

由得x2＋x＋s－2＝0，

由Δ＝12－4(s－2)＝0，得s＝，

即当s＝时，线段MN与抛物线只有一个公共点，

所以，当线段MN与抛物线有两个公共点时，s的取值范围为2≤s＜；

(3)如解图②，在x轴上取一点P(－2，0)，以P为圆心，OP为半径作圆，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G(解图②中的G与G′)，

理由：

第25题解图②

当点G在x轴上方时，由作图可知，PG＝2，PA＝1，PB＝4，

则＝＝，

∵∠GPA＝∠BPG，

∴△GPA∽△BPG，

∴∠PBG＝∠PGA，

∵GP＝PO，

∴∠POG＝∠PGO，

又∵∠POG＝∠PBG＋∠OGB，

∠PGO＝∠PGA＋∠AGO，

∴∠AGO＝∠BGO，

同理可*：当点G′在x轴的下方时，结论也成立.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题