如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：O...

问题详情：

如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC=3：1．

（1）求直线BC的解析式；

（2）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交ｙ轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．

【回答】

（1）y＝3x＋6（2）K点的位置不发生变化，K（0，−6），理由见解析

【分析】

（1）设BC的解析式是y＝ax＋c，由直线AB：y＝−x−b过A（6，0），可以求出b，因此可以求出B点的坐标，再由已知条件可求出C点的坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；

（2）过Q作QH⊥x轴于H，首先*△BOP≌△PHQ，再分别*△AHQ和△AOK为等腰直角三角形，问题得解．

【详解】

（1）由已知：0＝−6−b，

∴b＝−6，

∴AB：y＝−x＋6．

∴B（0，6），

∴OB＝6，

∵OB：OC＝3：1，

OC＝＝2，

∴C（−2，0），

设BC的解析式是y＝ax＋c，代入得，

解得：，

∴直线BC的解析式是：y＝3x＋6；

（2）K点的位置不发生变化，K（0，−6）．

过Q作QH⊥x轴于H，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ＝90°，PB＝PQ，

∵∠BOA＝∠QHA＝90°，

∴∠BPO＝∠PQH，

∴△BOP≌△PHQ，

∴PH＝BO，OP＝QH，

∴PH＋PO＝BO＋QH，

即OA＋AH＝BO＋QH，

又OA＝OB，

∴AH＝QH，

∴△AHQ是等腰直角三角形，

∴∠QAH＝45°，

∴∠OAK＝45°，

∴△AOK为等腰直角三角形，

∴OK＝OA＝6，

∴K（0，−6）．

【点睛】

此题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的*质，以及等腰直角三角形的判定和*质，解题的关键是正确求解析式以及借助于函数图象全面的分析问题．

知识点：一次函数

题型：解答题