问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=﹣(x﹣m)2+m+2的顶点.
(1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.
(2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标.
(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.
【回答】
【分析】(1)如图1中,当m=0时,二次函数的表达式y=﹣x2+2,画出函数图象,利用图象法解决问题即可.
(2)如图2中,当m=3时,二次函数解析式为y=﹣(x﹣3)2+5,如图2,结合图象即可解决问题.
(3)如图3中,∵抛物线的顶点P(m,m+2),推出抛物线的顶点P在直线y=x+2上,由点P在正方形内部,则0<m<2,如图3中,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时,抛物线与线段EF有交点(点F除外),求出抛物线经过点E或点F时Dm的值,即可判断.
【解答】解:(1)如图1中,当m=0时,二次函数的表达式y=﹣x2+2,函数图象如图1所示.
∵当x=0时,y=2,当x=1时,y=1,
∴抛物线经过点(0,2)和(1,1),
观察图象可知:好点有:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个.
(2)如图2中,当m=3时,二次函数解析式为y=﹣(x﹣3)2+5.如图2.
∵当x=1时,y=1,当x=2时,y=4,当x=4时,y=4,
∴抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4),
共线图象可知,抛物线上存在好点,坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4).
(3)如图3中,∵抛物线的顶点P(m,m+2),
∴抛物线的顶点P在直线y=x+2上,
∵点P在正方形内部,则0<m<2,
如图3中,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时,抛物线与线段EF有交点(点F除外),
当抛物线经过点E时,﹣(2﹣m)2+m+2=1,
解得m=或(舍弃),
当抛物线经过点F时,﹣(2﹣m)2+m+2=2,
解得m=1或4(舍弃),
∴当≤m<1时,顶点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点.
【点评】本题属于二次函数综合题,考查了正方形的*质,二次函数的*质,好点的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会正确画出图象,利用图象法解决问题,学会利用特殊点解决问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:解答题