设函数f(x)=(a∈R).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,...

问题详情：

设函数f(x)=(a∈R).

(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

(2)若f(x)在上为减函数,求a的取值范围.

【回答】

【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)

==.

因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,

即a=0.

当a=0时,f(x)=,f′(x)=,故f(1)=,f′(1)=,从而

y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),化简得3x-ey=0.

(2)由(1)知f′(x)=,

令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,

由g(x)=0解得x1=,x2=.

当x<x1时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;

当x1<x<x2时,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数;

当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;

由f(x)在上为减函数,

知x2=≤3,解得a≥-,

故a的取值范围为.

知识点：导数及其应用

题型：解答题