如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+b...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算；

（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．

解答：

解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，4）．

∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，

∴，

解得：b=﹣3，c=4，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．

（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．

∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，

∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，

∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，

∴点E坐标为（m，8+m）．

∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，

∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．

∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，

S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．

∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似

∴△DBE必为等腰直角三角形．

i）若∠BED=90°，则BE=DE，

∵BE=OC=﹣m，

∴DE=BE=﹣m，

∴CE=4+m﹣m=4，

∴E（m，4）．

∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，

∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，

∴D（﹣3，1）；

ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，

在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，

∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，

∴E（m，4﹣m）．

∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，

∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，

∴D（﹣2，2）．

综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．

点评：

本题考查了二次函数与一次函数的图象与*质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．

知识点：各地中考

题型：选择题