问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒.当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
第4题图
【回答】
解:(1)∵直线y=-2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点,
∴A(5,0),B(0,10),
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx(a≠0),
把点A(5,0)和C(8,4)代入可得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-x;
∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),
∴AB2=125,AC2=25,BC2=100,
∵AB2=AC2+BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)如解图,连接AP,AQ,当P,Q运动t秒,即OP=2t,CQ=10-t,
第4题解图
在Rt△AOP和Rt△ACQ中,
,
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,
∴OP=CQ,
∴2t=10-t,
∴t=,
∵t<5,
∴当运动时间为秒时,PA=QA;
(3)存在.
由题可得,抛物线的对称轴直线为x=,
设点M的坐标为( ,b),
利用点的坐标可求得
AB2=102+52=125,
MB2=()2+(b-10)2,
MA2=()2+b2,
∵△MAB是等腰三角形,
∴可分以下三种情况讨论:
①当AB=MA时,即125=()2+b2,
解得b=±,
即点M的坐标为(,)或(,-);
②当AB=BM时,即125=()2+(b-10)2,
解得b=10±,
即点M的坐标为(,10+)或(,10-);
③当MB=MA时,即()2+(b-10)2=()2+b2,
解得b=5,此时点A、M、B共线,故这样的点M不存在.
综上所述,存在点M,使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形,点M的坐标为(,)或(,-)或(,10+)或(,10-).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题