问题详情:
如图,在平面直角坐标系xoy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣,且经过A,C两点,与x轴的另一个交点为点B.
(1)求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求四边形PAOC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称*可求得点B的坐标;设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x﹣1),然后将点C的坐标代入即可求得a的值;
(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=m2﹣2m,然后利用三角形的面积公式可求得S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4,然后利用*法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标;
(3)根据两个角对应相等得两个三角形相似,可得M1,根据抛物线的对称*,可得M2,根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得关于n的方程,根据解方程,可得*.
【解答】解:(1)y=x+2中,当x=0时,y=2,当y=0时,x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由抛物线的对称*可知:点A与点B关于x=﹣对称,
∴点B的坐标为1,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣4,0),B(1,0),
∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
又∵抛物线过点C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=﹣
∴y=﹣x2﹣x+2.
(2)设P(m,﹣m2﹣m+2).
如图1,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,
∴Q(m, m+2),
∴PQ=﹣m2﹣m+2﹣(m+2)
=﹣m2﹣2m,
∵S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC=×4×2+×PQ×4=2PQ+4=﹣m2﹣4m+4=﹣(m+2)2+8,
∴当m=﹣2时,△PAC的面积有最大值是8,
此时P(﹣2,3).
(3)如图2,
,
在Rt△AOC中,AC==2,在Rt△BOC中,BC==,
∵AC2+BC2=20+5=25=AB2,
∴∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴△ABC∽△AOC∽△CBO,
①若点M在x轴上方时,当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC.
根据抛物线的对称*,当M(﹣3,2)时,△MAN∽△ABC;
②若点M在x轴的下方时,设N(n,0),则M(n,﹣n2﹣n+2),
∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4,
当=,即===时,MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4),
化简,得n2+2n﹣8=0,
n1=﹣4(舍),n2=2,M(2,﹣3);
当=,即===2时,MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),
化简,得n2﹣n﹣20=0,
解得:n1=﹣4(舍去),n2=5,
∴M(5,﹣18),
综上所述:存在点M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题