已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[...

问题详情：

已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.

(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．

【回答】

解：(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，

即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，

∴(1＋k)2x＋(k＋1)22x＝0对一切x∈R恒成立，

∴k＝－1.

(2)∵对x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，

∴1－k<22x对x≥0恒成立．

∴1－k<(22x)min(x≥0)，

又y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，

∴k>0.

知识点：基本初等函数I

题型：解答题