已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单...

问题详情：

已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求*：当x>1时，x2＋lnx<x3.

【回答】

解：(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，

所以2－＝0.所以a＝4.

此时f′(x)＝x－＝

因为f(x)的定义域是{x|x>0}，

所以当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.

所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．所以a＝4.

(2)因为f′(x)＝x－，

所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，f′(x)＝x－＝

令f′(x)>0有x>，

所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；

令f′(x)<0有0<x<，

所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)．

(3)*：设g(x)＝x3－x2－lnx，

则g′(x)＝2x2－x－，

因为当x>1时，g′(x)＝>0，

所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

所以g(x)>g(1)＝>0.

所以当x>1时，x2＋lnx<x3.

知识点：基本初等函数I

题型：解答题