问题详情:
已知函数f(x)=(ax-x2)ex.
(1)当a=2时,求f(x)的单调递减区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1]上单调递增,求a的取值范围;
(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围,若不是,说明理由.
【回答】
解 (1)当a=2时,f(x)=(2x-x2)ex.
f′(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex,
=(2-x2)ex,
令f′(x)<0,即2-x2<0,解得x<-或x>,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-)和(,+∞).
(2)函数f(x)在(-1,1]上单调递增,
所以f′(x)≥0,对于x∈(-1,1]都成立,
即f′(x)=[a+(a-2)x-x2]ex≥0,对于x∈(-1,1]都成立,
故有a≥=x+1-,
令g(x)=x+1-,则g′(x)=1+>0,
故g(x)在(-1,1]上单调递增,g(x)max=g(1)=,
所以a的取值范围是[,+∞).
(3)假设f(x)为R的上单调函数,则为R的上单调递增函数或单调递减函数.
①若函数f(x)为R上单调递增函数,则f′(x)≥0,对于x∈R都成立,
即[a+(a-2)x-x2]ex≥0恒成立.
由ex>0,x2-(a-2)x-a≤0对于x∈R都恒成立,
由h(x)=x2-(a-2)x-a是开口向上的抛物线,
则h(x)≤0不可能恒成立,
所以f(x)不可能为R上的单调增函数.
②若函数f(x)为R上单调递减函数,则f′(x)≤0,对于x∈R都成立,
即[a+(a-2)x-x2]ex≤0恒成立,
由ex>0,x2-(a-2)x-a≥0对于x∈R都恒成立,
故由Δ=(a-2)2+4a≤0,整理得a2+4≤0,显然不成立,
所以,f(x)不能为R上的单调递减函数.
综上,可知函数f(x)不可能为R上的单调函数.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题