如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y=﹣x...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y=﹣x2+bx+3的一交点为点D，抛物线过x轴上的AB两点，且CD=4AC．

（1）求直线l和抛物线的解析式；

（2）点E是直线l上方抛物线上的一动点，求当△ADE面积最大时，点E的坐标；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+3，得b=2，

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

过点D作DF⊥x轴于点F，如图1

易*△AOC∽△AFD，

∴，

∵CD=4AC，

∴=，

∴点D横坐标为4，

把x=4代入y=﹣x2+2x+3，得y=﹣5，

∴D（4，﹣5），

把x=4，y=﹣5；x=﹣1，y=0代入y=kx+h，

解得，k=﹣1，h=﹣1，

∴直线l的解析式为y=﹣x﹣1．

（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，如图2

设点E（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m﹣1），

∴EM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m﹣1）═﹣m2+3m+4，

∴S△ADE=（﹣m2+3m+4）=，

当m=时，△ADE的面积最大，

此时，E（，）．

（3）不存在

理由如下：

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

设P（1，m），

①若AD是平行四边形ADPQ的一条边，如图3

则易得Q（﹣4，﹣21），

m=﹣21﹣5=﹣26，则P（1，﹣26），

此时AQ2=32+212=450，QP2=52+52=50，AP2=22+262=680，

∴AQ2+QP2≠AP2，

∴∠AQP≠90°，

此时平行四边形ADPQ不是矩形；

②若AD是平行四边形APDQ的对角线，如图4

则易得Q（2，3），

m=﹣5a﹣3=﹣8，则P（1，﹣8），

PQ2=12+112=122，PD2=32+32=18QD2=22+82=68，

∴PD2+QD2≠PQ2，

∴∠PDQ≠90°，

此时平行四边形ADPQ不是矩形，

综上所述，四边形APDQ不能为矩形．

知识点：相似三角形

题型：解答题