已知函式.（1）求函式的單調區間；（2）當時，函式在上的最小值為，若不等式有解，求實數的取值範圍．

問題詳情：

已知函式.

（1）求函式的單調區間；

（2）當時，函式在上的最小值為，若不等式有解，求實數的取值範圍．

【回答】

（1）*見解析；（2）

【解析】

（1）求出導函式，然後根據的符號進行分類討論，並藉助解不等式組的方法得到單調區間；（2）根據（1）中的結論求出當時，函式在上的最小值，因此問題轉化為有解，即有解，建構函式，求出函式的最小值即可得到所求．

【詳解】（1）由，

得，

①當時，

令，得，

所以，或，即或，

解得或．

令，得，

所以或，即或，

解得或．

所以函式的單調遞增區間為，；單調遞減區間為．

②當時，

令，得，由①可知；

令，得，由①可知或．

所以函式的單調遞增區間為；單調遞減區間為，．

綜上可得，

當時，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為．

當時，的單調遞增區間為；單調遞減區間為，．

（2）由（1）可知若，則當時，函式在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以不等式有解等價於有解，

即有解，

設，則，

所以當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以的極小值也是最小值，且最小值為，

從而，

所以實數的取值範圍為．

【點睛】（1）求函式的單調區間時，若函式解析式中含有字母、並且字母對結果產生影響時，需要對字母進行分類討論，討論時要選擇合適的標準，同時分類時要做到不重不漏．

（2）解答不等式有解的問題時，常用的方法是分離引數後轉化為求函式的最值的問題，解題時要用到以下結論：在上有解；在上有解．若函式的最值不存在，則可利用函式值域的端點值來代替．

知識點：不等式

題型：解答題