已知函式f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(1)討論函式f(x)的單調*;(2)若函式f(x)在x=1處取...

問題詳情：

已知函式f(x)=ax-1-ln x(a∈R).

(1)討論函式f(x)的單調*;

(2)若函式f(x)在x=1處取得極值,不等式f(x)≥bx-2對∀x∈(0,

+∞)恆成立,求實數b的取值範圍;

(3)當x>y>e-1時,*不等式exln(1+y)>eyln(1+x).

【回答】

 (1)解:函式的定義域是(0,+∞),

且f′(x)=a-=.

當a≤0時,ax-1<0,從而f′(x)<0,函式f(x)在(0,+∞)上單調遞減;

當a>0時,若0<x<,則ax-1<0,從而f′(x)<0;

若x≥,則ax-1≥0,從而f′(x)≥0,

所以函式f(x)在(0,)上單調遞減,在(,+∞)上單調遞增.

(2)解:由(1)可知,函式的極值點是x=,

所以=1,則a=1.

若f(x)≥bx-2在(0,+∞)上恆成立,即x-1-ln x≥bx-2在(0,+∞)上恆成立,只需b≤1+-在(0,+∞)上恆成立.

令g(x)=-,則g′(x)=--+=.

易知x=e2為函式g(x)在(0,+∞)內唯一的極小值點,也是最小值點,故[g(x)]min=g(e2)=-,即(1+-)min=1-,故只要b≤1-即可.

所以b的取值範圍是(-∞,1-].

(3)*:由題意可知,要*不等式exln(1+y)>eyln(1+x)成立,只需*>.

建構函式h(x)=,則h′(x)==,h′(x)在(e,+∞)上單調遞增,

h′(x)>h′(e)>0,

則h(x)在(e,+∞)上單調遞增.

由於x>y>e-1,所以x+1>y+1>e,

所以>,

即exln(1+y)>eyln(1+x).

知識點：基本初等函式I

題型：解答題