已知函式f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函式，求實數a的取值範圍；(2)...

問題詳情：

已知函式f(x)＝x3－ax2－3x.

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函式，求實數a的取值範圍；

(2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有兩個解，求實數a的取值範圍．

【回答】

解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3≥0，∵x≥1，∴a≤(x－)．

當x≥1時，(x－)是增函式，其最小值為(1－1)＝0，∴a≤0.

(2)令h(x)＝f(x)－(a2－3)x＋1，h′(x)＝3x2－2ax－a2＝0，

得x＝a或x＝－，∵a>0，∴有

∴x＝－時h(x)有極大值，h(x)極大值＝h(－)＝a3＋1.

x＝a時h(x)有極小值，h(x)極小值＝h(a)＝－a3＋1，

∵若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有兩個解，

∴h(a)≥0或h(－)≤0，

∴－a3＋1≥0或a3＋1≤0(舍)，解得0<a≤1.

知識點：導數及其應用

題型：解答題