問題詳情:
如圖,二次函式y=x2-2mx+8m的圖象與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左邊且OA≠OB),交y軸於點C,且經過點(m,9m),⊙E過A、B、C三點。
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求點E的座標;
(3)過拋物線上一點P(點P不與B、C重合)作PQ⊥x軸於點Q,是否存在這樣的點P使△PBQ和△BOC相似?如果存在,求出點P的座標;如果不存在,說明理由
【回答】
(1)y=x2+2x-8(2)(-1,-)(3)(-8,40),(-,-),(-,-)
【解析】
分析:(1)把代入解析式,得:,解這個方程可求出m的值;
(2)分別令y=0和x=0,求出OA,OB,OC及AB的長,過點作軸於點,軸於點,連線,AE,設OF=GE=a,根據 ,列方過程求出a的值,從而求出點E的座標;
(3)設點P(a, a2+2a-8), 則,然後分∽時和∽時兩種情況,列比例式求出a的值,從而求出點P的座標.
詳解:(1)把代入解析式,得:
解得:(捨去)
∴
(2)由(1)可得:,當時,;
∵點A在點B的左邊 ∴ ,
∴,
當時,,
∴
過點作軸於點,軸於點,連線,,
則 ,
設,則,
在中,,
在中,
,
∵ ,
∴ ,
解得: ,
∴ ;
(3)設點,
則,
a.當∽時,
,即,
解得:(捨去);
(捨去); ,
∴ ;
b.當∽時,
,即,
解得:(捨去),; ,
∴; ;
綜上所述,點的座標為:,,
點睛:本題考查了二次函式的影象與*質,二次函式與座標軸的交點,垂徑定理,勾股定理,相似三角形的*質和分類討論的數學思想,熟練掌握二次函式與一元二次方程的關係、相似三角形的*質是解答本題的關鍵.
知識點:二次函式的圖象和*質
題型:解答題