如圖，在平面直角座標系中，直線與軸交於點，與軸交於點拋物線的對稱軸是直線與軸的交點爲點且經過點兩點．（1）求拋...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，直線與軸交於點，與軸交於點拋物線的對稱軸是直線與軸的交點爲點且經過點兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點爲拋物線對稱軸上一動點，當的值最小時，請你求出點的座標；

（3）拋物線上是否存在點，過點作軸於點使得以點爲頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）；（2）；（3）存在；或或或

【解析】

【分析】

（1）由直線可得B、C兩點的座標，根據二次函數的對稱軸求得A點座標，可設拋物線的解析式爲，將C點座標代入可求得a，即可得拋物線的解析式；

（2）根據絕對值的*質得出的值最小時，點爲BC的垂直平分線與直線的交點，求得BC垂直平分線的解析式，聯立直線即可求得點；

（3）分四種情況進行討論，設出N的座標，根據相似三角形的對應邊成比例的*質，求得N的橫座標與縱座標的關係，然後聯立拋物線解析式即可求解．

【詳解】

解：∵直線與軸交於點，與軸交於點，

∴當y=0時，即，解得：x=4，則點B的座標爲，

當x=0時，，則點C的座標爲，

由二次函數的對稱*可知：點與點關於直線對稱，

∴點A的座標爲，

∵拋物線與軸的交點爲點，

∴可設拋物線的解析式爲，

又∵拋物線過點，

∴，解得：，

∴

∴拋物線的解析式爲；

（2）如圖1，連結CM、BM，作線段BC的垂直平分線分別交BC、直線於點，則N爲BC中點；

由絕對值的*質可得：，

∴當的值最小時，即，則此時，

∴點M爲與直線的交點，此時與重合，

設的解析式爲：，

∵直線BC的解析式爲：，

∴，解得：，則的解析式可化爲：，

由得點N的座標爲，

將代入得：

，解得：，

∴，

將代入，得，即，

∴當的值最小時，點的座標爲，

（3）拋物線上存在點，使得以點爲頂點的三角形與相似；

∵

∴，，，

∴，，

∵，

∴爲直角三角形，，

∵軸，

∴，則，

如圖2所示，分四種情況，點的座標分別爲，設點的座標爲，

①當點在x軸的上方，要使，則，

則此時點與點C重合，則此時點與點O重合，

則，滿足題意，

∴此時點的座標爲；

②當點在x軸的上方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點的座標爲；

③當點在x軸的下方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點的座標爲；

④當點在x軸的下方，要使，則，

∴，即，代入拋物線的解析式得：

，化簡得：，

解得：，（不符合題意，故舍去），

將代入拋物線解析式得：，

∴此時點的座標爲；

綜上所述，拋物線存在點N的座標爲或或或使得以點爲頂點的三角形與相似．

【點睛】

本題主要考查了一次函數與二次函數的*質、相似三角形的*質，運用數形結合與分類討論的方法是解題的關鍵．

知識點：一次函數

題型：解答題