如圖預19-7所示，在長爲m、質量爲的車廂B內的右壁處，放一質量的小物塊A（可視爲質點），向右的水平拉力作用於...

問題詳情：

如圖預19-7所示，在長爲m、質量爲的車廂B內的右壁處，放一質量的小物塊A（可視爲質點），向右的水平拉力作用於車廂，使之從靜止開始運動，測得車廂B在最初2.0 s內移動的距離，且在這段時間內小物塊未與車廂壁發生過碰撞．假定車廂與地面間的摩擦忽略不計，小物塊與車廂壁之間的碰撞是**的．求車廂開始運動後4.0 s時，車廂與小物塊的速度．

【回答】

解法一：

1. 討論自B開始運動到時間內B與A的運動。

根據題意，在2 s內，A未與B發生過碰撞，因此不論A與B之間是否有相對運動，不論A與B之間是否有摩擦，B總是作初速爲零的勻加速直線運動。設B的加速度爲，有

得

                                     （1）

如果A、B之間無摩擦，則在B向右移動1米距離的過程中，A應保持靜止狀態，接着B的車廂左壁必與A發生碰撞，這不合題意。如果A、B之間無相對運動（即兩者之間的摩擦力足以使A與B有一樣的加速度），則B的加速度

這與（1）式矛盾。由此可見，A、B之間既有相對運動又存在摩擦力作用。

以表示A、B間的滑動摩擦力的大小，作用於B的摩擦力向左，作用於A的摩擦力向右，則有

                                                     （2）

                                              （3）

由（1）、（2）、（3）式得

                                         （4）

                                               （5）

2. 討論B的左壁與A發生第一次碰撞前的運動。

由於，B向右的速度將大於A的速度，故A與B的左壁間的距離將減小。設自靜止開始，經過時間，B的左壁剛要與A發生碰撞，這時，B向右運動的路程與A向右運動的路程之差正好等於，即有

解得

                                                          （6）

代入數據，得

A與B發生第一次碰撞時，碰前的速度分別爲

                                                （7）

                                                （8）

3. 討論B與A間的**碰撞

以和分別表示第一次碰撞後A和B的速度。當、爲正時，分別表示它們向右運動。在碰撞的極短時間內，外力的衝量可忽略不計，因此有

解以上兩式得

                                     （9）

（9）式表示，在**碰撞中，碰撞前後兩者的相對速度的大小不變，但方向反轉。

4. 討論從第一次碰撞到車廂與小物塊速度變至相同過程中的運動。

由（9）式可以看出，經第一次碰撞，A和B都向右運動，但A的速度大於B的速度，這時作用於A的摩擦力向左，作用於B的摩擦力向右，大小仍都爲。設此過程中A向左的加速度和B向右的加速度分別爲和，則由牛頓第二定律有

解得

                                                   （10）

                                                 （11）

由此可知，碰撞後，A作減速運動，B作加速運動。設經過時間，兩者速度相等，第一次達到相對靜止，則有

由上式和（9）式解得

                                  （12）

代入有關數據得

                                                        （13）

設在時間內，A與B的左壁之間的距離增大至，則有

結合（9）、（12）兩式得

                                                                            （14）

式中

                                                          （15）

代入有關數據得

由（14）可知，A不會與B的右壁發生碰撞。

5. 討論A與B的左壁的第二次碰撞。

以表示B與A第一次相等的速度，由於B始終受作用而加速，它將拖着A向右加速，其情況與第一次碰撞前相似。這時作用於A的摩擦力向右，A的加速度爲，方向向右。作用於B的摩擦力向左，B的加速度爲，方向也向右。但是原來A與B左端的距離爲，現改爲，因，B的左壁與小A之間的距離將減小。設兩者間的距離從減小至零即減小至開始發生第二次碰撞所經歷的時間爲，以代入⑥式，結合（14）式，即可求得

                                    （16）

代入有關數據，得

第二次碰撞前瞬間A和B的速度分別爲

                         （17）

故第二次碰撞前A、B速度之差小於第一次碰撞前A、B的速度差。設第二次碰撞完畢的瞬間A、B的速度分別爲和，則有

                                      （18）

第二次碰撞後，A以加速度作減速運動，B以加速度作加速運動。設經歷時間，兩者速度相等，即第二次相對靜止，則有

解得

                                  （19）

在時間內，A與B的左壁的距離變爲，有

結合（8）、（9）得

                                                                 （20）

自B開始運動到A與B達到第二次相對靜止共經歷時間

6. 討論A與B的左壁的第三次碰撞。

當A與B的左壁之間的距離爲時，A、B相對靜止。由於B受外力作用而繼續加速，它將拖着A向右加速。這時，A的加速度爲，B的加速度爲，方向都向右，但因，A將與B的左壁發生第三次碰撞。設此過程經歷的時間爲，則以代入（6）式結合（16）式得

                         （21）

設第三次碰撞前瞬間A和B的速度分別爲和，碰撞後的速度分別爲和

碰撞後，A以加速度作減速運動，B以加速度作加速運動。設經過時間兩者速度相等，即第三次相對靜止，A與B左壁之間的距離爲。則有

                                                    （22）

自B開始運動至第三次A與B相對靜止共經歷的時間仍小於4 s。

7. 討論車廂左壁與小物塊的第次碰撞。

在第次碰撞完畢的瞬間，A和B的速度分別爲和，A以加速度作減速運動，B以加速度作加速運動。經過時間，兩者速度相等，即第次相對靜止。A與B左壁之間的距離爲。根據前面的討論有

                                                            （23）

再經過時間將發生B的左壁與A的第次碰撞。碰撞前兩者的速度分別爲和。根據前面的討論，有

                                                             （24）

可以看出，碰撞次數越多，下一次碰撞前，A、B速度之差越小。當碰撞次數非常大時，下次碰撞前兩者的速度趨於相等，即A實際上將貼在B的左壁上不再分開。

8. 討論第4秒B與A的運動速度。

第4秒末B與A的速度取決於在第4秒末B與A經歷了多少次碰撞。B自靜止開始運動到第次相對靜止經歷的總時間爲

                                           （25）

以，代入，注意到當很大時，得

                                                    （26）

這表明早在第4秒之前，A與B的左壁貼在一起時二者速度已相同，不再發生碰撞，此後二者即以相同的速度運動了、現以A和B都靜止時作爲初態，設時刻A和B的速度爲，對A、B開始運動至的過程應用動量定理，得

                                                       （27）

或

代入數值，得

                                                          （28）

解法二：

如果A與B之間沒有摩擦力，B前進1m就會與A發生碰撞。已知開始2s爲A與B未發生碰撞，而B已走了5m，可見二者之間有摩擦力存在，且在此期間二者均作勻加速運動。由可求出B對地面的加速度：

            ，                              

設A與B底部之間的滑動摩擦力爲，則由小車的運動方程

代入數值得

又由A的運動方程得A的相對地面的加速度爲

於是，A對B的相對加速度爲

第一次碰撞

由開始運動到A碰撞B的左壁的時間滿足，。於是

A與B的左壁碰撞前瞬間，A相對B的速度

由於作**碰撞的兩個物體在碰撞前後其相對速度等值反向，所以碰後A從B的左壁開始，以相對速度

向右運動，所受摩擦力反向向左，爲。對地面的加速度爲

此時B所受的摩擦力方向向右，由其運動方程得B對地面的加速度爲

由、二式知，碰後A對B的相對加速度爲

A相當於B作向右的勻減速運動。設A由碰後開始達到相對靜止的時間爲，相當於B走過的距離爲，由式得

可見A停止在B當中，不與B的右壁相碰。

第二次碰撞

A在B內相對靜止後，將相當於B向左滑動，所受的摩擦力改爲向右，而B所受的摩擦力改爲向左。這時A對B的相對加速度重新成爲，即式。A由相對靜止到與B的左壁第二次碰撞所需的時間可用算出：

自B開始運動至B的左壁與A發生第二次碰撞經歷的時間

A達到B的左壁前相當於B的速度的大小爲

這也就是第二次碰後A由B的左壁出發的相對速度大小。第二次碰後，A相對B向右運動，此時A相對於B的相對加速度又成爲，即式。A由碰撞到相對靜止所需要的時間和相當於B走過的距離分別爲

以後的碰撞

根據、二式，如令

則有

由此可以推知，在第三次碰撞中必有

在第次碰撞中有

即每一次所需時間要比上次少得多（A在B中所走的距離也小得多）。把所有的時間加在一起，得

這就是說，在B開始運動後3.56 s時，A將緊貼B的左壁，並與B具有相同速度，二者不再發生碰撞，一直處於相對靜止狀態。現取A和B都靜止時作爲初態，以時刻的運動狀態爲末態，設此時A和B的速度爲，由動量定理，有

代入數值，得

答：自車廂開始運動到4.0 s時車廂與物塊的速度相同，均爲

評分標準：本題25分。

得出摩擦力得5分，得出第一次碰撞時間得5分，得出第二次碰撞時間得5分。得出無窮次碰撞時間得5分 ，得到最後結果再得5分。

知識點：未分類

題型：未分類