問題詳情:
已知函數.
(1)討論的單調區間;
(2)若,求*:當時,.
【回答】
(1)【考查意圖】本小題以含指數函數的初等函數爲載體,利用導數研究函數的單調*,考查運算求解能力,考查函數與方程思想、分類與整合思想等.
【解法綜述】只要掌握基本初等函數的求導公式及導數的運算法則、導數與函數單調*的關係和含參數一元二次不等式的解法,便可解決問題.
思路:求得,對的符號進行討論.先討論的情況,再對的情況結合的圖象和判別式進一步分成三種情況進行討論,即可求解.
【錯因分析】考生可能存在的錯誤有:求導函數出錯;求根計算錯誤或兩根大小關係判斷錯誤;分類討論錯誤或不完整.
【難度屬*】中.
(2)【考查意圖】本小題以不等式*爲載體,考查利用導數研究函數的極值、最值等基礎知識,考查運算求解能力、推理論*能力、抽象概括能力和創新意識,考查函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、特殊與一般思想等.
【解法綜述】只要掌握利用導數研究函數*質的基本思路,具備較強的運算求解能力、推理論*能力和一定的創新意識,並能靈活運用數形結合思想、分類與整合思想、轉化與化歸思想等,便可解決問題.
思路一:將的取值分成,兩部分進行討論,對於的情形可直接根據(1)的結論進行*:對於的情形,將所*不等式轉化爲*的最大值小於零,再利用得到,進而得到,通過分析法轉化爲*函數在恆小於零.
思路二:通過變換主元將改寫成關於的函數,將求*不等式轉化爲*,再利用分析法進一步轉化爲*,然後構造,*的最小值大於零即可.
思路三:同思路一得到,通過分析法轉化爲求*函數在恆大於1.
思路四:同思路一得到,通過分析法轉化爲求*函數在恆小於零.
【錯因分析】考生可能存在的錯誤有:不會對參數的取值進行合理分類;不會通過消元將函數最值轉化爲僅關於極值點的表達式;不能變換主元對問題進行合理轉化;不會根據題意構造恰當的函數.
【難度屬*】難.
知識點:導數及其應用
題型:解答題