已知函數f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2時取得極值，求a的值；(2)求f(x)的單...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x2－alnx(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝2時取得極值，求a的值；

(2)求f(x)的單調區間；

(3)求*：當x>1時，x2＋lnx<x3.

【回答】

解：(1)f′(x)＝x－，因爲x＝2是一個極值點，

所以2－＝0.所以a＝4.

此時f′(x)＝x－＝

因爲f(x)的定義域是{x|x>0}，

所以當0<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0.

所以當a＝4時，x＝2是f(x)的極小值點．所以a＝4.

(2)因爲f′(x)＝x－，

所以當a≤0時，f(x)的單調遞增區間爲(0，＋∞)．

當a>0時，f′(x)＝x－＝

令f′(x)>0有x>，

所以函數f(x)的單調遞增區間爲(，＋∞)；

令f′(x)<0有0<x<，

所以函數f(x)的單調遞減區間爲(0，)．

(3)*：設g(x)＝x3－x2－lnx，

則g′(x)＝2x2－x－，

因爲當x>1時，g′(x)＝>0，

所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數．

所以g(x)>g(1)＝>0.

所以當x>1時，x2＋lnx<x3.

知識點：基本初等函數I

題型：解答題