問題詳情:
已知函數f(x)=ex-x-1,g(x)=x2eax.
(1)求f(x)的最小值;
(2)求g(x)的單調區間;
(3)當a=1時,對於在(0,1)中的任一個常數m,是否存在正數x0使得f(x0)>g(x0)成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由.
【回答】
解:(1)f(x)的定義域是R,
f′(x)=ex-1,
且在(-∞,0)上f′(x)<0,在(0,+∞)上f′(x)>0,
所以f(x)min=f(0)=0.
(2)g′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.
①當a=0時,若x<0,則g′(x)<0,若x>0,則g′(x)>0.
所以當a=0時,函數g(x)在區間(-∞,0)內爲減函數,在區間(0,+∞)內爲增函數.
②當a>0時,由2x+ax2>0,解得x<-或x>0,
由2x+ax2<0,解得-<x<0.
所以當a>0時,函數g(x)在區間內爲增函數,
在區間內爲減函數,在區間(0,+∞)內爲增函數.
③當a<0時,由2x+ax2>0,解得0<x<-,
由2x+ax2<0,解得x<0或x>-.
所以當a<0時,函數g(x)在區間(-∞,0)內爲減函數,在區間內爲增函數,在區間內爲減函數.
(3)假設存在這樣的x0滿足題意,則
f(x0)>g(x0),ex0-x0-1>xex0,x+-1<0,(*)
要找一個x0>0,使(*)式成立,只需找到當x>0時,函數h(x)=x2+-1的最小值h(x)min<0即可,
h′(x)=x,
令h′(x)=0得ex=,則x=-ln m,取x0=-ln m,
當0<x<x0時,h′(x)<0,當x>x0時,h′(x)>0,
所以h(x)min=h(x0)=h(-ln m)=(ln m)2-mln m+m-1.
下面只需*:當0<m<1時,(ln m)2-mln m+m-1<0成立即可,
令p(m)=(ln m)2-mln m+m-1,m∈(0,1),
則p′(m)=(ln m)2≥0,從而p(m)在m∈(0,1)時爲增函數,則p(m)<p(1)=0,從而(ln m)2-mln m+m-1<0得*.
於是h(x)的最小值h(-ln m)<0,因此可找到一個正常數x0=-ln m(0<m<1),使得f(x0)>g(x0)成立.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題