某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數爲R(x)＝3700x＋45x2－10x3(單位：萬元)，成...

問題詳情：

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數爲R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(單位：萬元)，成本函數爲C(x)＝460x＋5(單位：萬元)，又在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義爲Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．

(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)．(提示：利潤＝產值－成本)

(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？

(3)求邊際利潤函數MP(x)的單調遞減區間，並說明單調遞減在本題中的實際意義是什麼？

【回答】

解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5(x∈N*且1≤x≤20)；

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N*且1≤x≤19)．

(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，

∵x＞0，

∴P′(x)＝0時，x＝12，

∴當0＜x＜12時，P′(x)＞0，

當x＞12時，P′(x)＜0，

∴x＝12時，P(x)有最大值．

即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．

(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305.

所以，當x≥1時，MP(x)是減函數，

所以單調減區間爲[1,19]，且x∈N*.

MP(x)是減函數的實際意義是：隨着產量的增加，每艘船的利潤與前一艘船的利潤比較，利潤在減少．

知識點：函數的應用

題型：解答題