給定有限個正數滿足條件：每個數都不大於50且總和＝1275.現將這些數按下列要求進行分組，每組數之和不大於15...

問題詳情：

給定有限個正數滿足條件：每個數都不大於50且總和＝1275.現將這些數按下列要求進行分組，每組數之和不大於150且分組的步驟是：

    首先，從這些數中選擇這樣一些數構成第一組，使得150與這組數之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組餘差；

    然後，在去掉已選入第一組的數後，對餘下的數按第一組的選擇方式構成第二組，這時的餘差為；如此繼續構成第三組（餘差為）、第四組（餘差為）、……，直至第組（餘差為）把這些數全部分完為止.

   （I）判斷的大小關係，並指出除第N組外的每組至少含有幾個數

   (II)當構成第組後，指出餘下的每個數與的大小關係，並*;

   (III)對任何滿足條件T的有限個正數，*：.

【回答】

  解：（I）.除第N組外的每組至少含有個數.

    （II）當第n組形成後，因為，所以還有數沒分完，這時餘下的每個數必大於餘差，餘下數之和也大於第n組的餘差，即

    ,

    由此可得.

    因為，所以.

    （III）用反*法*結論，假設，即第11組形成後，還有數沒分完，由（I）和（II）可知，餘下的每個數都大於第11組的餘差，且,

    故餘下的每個數 .   （*）

    因為第11組數中至少含有3個數，所以第11組數之和大於,

    此時第11組的餘差,

    這與（*）式中矛盾，所以.

知識點：推理與*

題型：綜合題