有限數列…，同時滿足下列兩個條件：①對於任意的；②對於任意的三個數中至少有一個數是數列中的項。（Ⅰ）若，且，求...

問題詳情：

有限數列…，同時滿足下列兩個條件：

①對於任意的；

②對於任意的三個數中至少有一個數是數列中的項。

（Ⅰ）若，且，求a的值；

（Ⅱ）*：2，3，5不可能都是數列中的項；

（Ⅲ）求n的最大值。

【回答】

 解：（Ⅰ）由①，得，

由②，當時，，12中至少有一個是數列1，2，a，6中的項，但，故，解得a。

經檢驗，當時，符合題意。

（Ⅱ）假設2，3，5是數列中的項，由②可知：6，10，15中至少有一個是數列中的項，則有限數列的最後一項，且。

由①，，

對於數，由②可知：；對於數，由②可知：。

所以，這與①矛盾，

所以2，3，5不可能是數列中的項。

（Ⅲ）n的最大值為9，*如下：

（1）令，則符合①、②。

（2）設…符合①、②，則：

（i）中至多有三項，其絕對值大於1，

假設中至少有四項，其絕對值大於1，不妨設是中絕對值最大的四項，其中。則對有，故均不是數列中的項，即是數列中的項。

同理：也是數列中的項。

但，

所以，

所以，這與①矛盾。

（ii）中至多有三項，其絕對值大於0且小於1，

假設中至少有四項，其絕對值大於0且小於1，類似（i）得出矛盾。

（iii）中至多有兩項絕對值等於1。

（iv）中至多有一項等於0。

綜合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有9項。

由（1），（2）可得，n的最大值為9。

知識點：數列

題型：解答題