如圖所示，將一鐵餅狀小物塊在離地面高為處沿水平方向以初速拋出．己知物塊碰地*起時沿豎直方向的分速度的大小與碰前...

問題詳情：

如圖所示，將一鐵餅狀小物塊在離地面高為處沿水平方向以初速拋出．己知物塊碰地*起時沿豎直方向的分速度的大小與碰前沿豎直方向的分速度的大小之比為（＜1）．又知沿水平方向物塊與地面之間的滑動摩擦係數為（≠0）：每次碰撞過程的時間都非常短，而且都是“餅面”着地．求物塊沿水平方向運動的最遠距離．

【回答】

設物塊在點第一次與地面碰撞，碰撞前水平速度仍為，豎直速度為

                     （1）

碰撞後物塊的豎直速度變為，根據題意，有

                            （2）

設物塊的質量為，碰撞時間為，因為碰撞時間極短，物塊與地面間沿豎直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，這樣，物塊對地面的正壓力的大小為

                              （3）

水平方向動量的變化是水平摩擦力的衝量作用的結果，設水平方向速度變為，則有

                                             （4）

由以上各式得

                                                 （5）

同理，在落地點，，…，其碰撞後的豎直分速度分別為

                         …………

                                                            （6）

其水平速度分別為

…………

                                 （7）

由式（6）可知，只有當碰撞次數時，碰地後豎直方向的分速度才趨向於零，但物塊對地面的正壓力的最小值不小於。地面作用於物塊的摩擦力的最小值不小於，因次，物塊沿水平方向的分速度一定經歷有限次數碰撞後即變為零，且不會反向。

設經過次碰撞，物塊沿水平方向的分速度已經足夠小，再經過一次碰撞，即在次碰撞結束後，水平方向的分速度恰好變為零。因，由式（7）

兩邊取對數

                   （8）

令

                                             （9）

若恰為整數，這表示這次碰撞中，經過整個碰撞時間，水平速度變為零，則碰撞次數

有                                                         （10）

若不是整數，此種情況對應於在次碰撞結束前，即在小於碰撞時間內，水平速度變為零。則碰撞次數

有

                              （11）

表示的整數部分。

由於經過次碰撞，物塊沿水平方向的分速度已為零，但豎直方向的分速度尚未為零，故物塊將在處作上下跳躍，直到，即，最後停止在處。物塊運動的最遠水平距離。下面分別計算每次跳躍的距離。

                             （12）

…………

                 （13）

所求距離為上述所有量的總和，為

                                      （14）

分別求級數的和：

                    （15）

                                    （16）

將以上兩個關係式和代入式（14），得

            （17）

式中由式（10）或式（11）決定。

評分標準：本題25分。

式（6）3分，式（7）6分，式（8）4分，式（10）2分，式（11）2分，式（14）5分，求得式（17）並説明的取值，給3分。

知識點：專題三 力與物體的曲線運動

題型：計算題