問題詳情:
六個相同的電阻(阻值均為)連成一個電阻環,六個接點依次為1、2、3、4、5和6,如圖復16-5-1所示。現有五個完全相同的這樣的電阻環,分別稱為 、、┅。
現將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導線連接,如圖復16-5-2所示。然後將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導線連接,┅ 依此類推。最後將的1、3、5三點分別連接到的2、4、6三點上。
1.*全部接好後,在上的1、3兩點間的等效電阻為。
2.求全部接好後,在上的1、3兩點間的等效電阻。
【回答】
解法一:
1.(1)電阻圖變形.
此題連好的線路的平面圖如圖預解16-5-1所示.
現將電阻環改畫成三角形,1、3、5三點為頂點,2、4、6三點為三邊中點,如圖預解1—5-2與圖預解16-5-3所示.整個連好的線路相當於把的三個頂點分別接到的三個中點上,圖預解16-5-1變為圖預解16-5-4.這樣第1問歸結為求圖預解16-5-4中最外層三角環任意兩頂點間的等效電阻。
(2)遞推公式.
為使圖形簡化,討論如何將接好的兩個電阻環化簡成為一個單環。由六個阻值為的電阻構成一個三角環,將其頂點接在另一由六個阻值為的電阻構成的三角環的中點上(如圖預解16-5-5所示)。
圖預解16-5-6是由六個阻值為的電阻構成的三角環。若圖預解16-5-5頂點1、3間的電阻與圖預解16-5-6頂點l、3間的電阻阻值相等,我們稱圖預解16-5-6中的為等效單環電阻.
用符號“//”表示電阻的並聯,如
由圖預解16-5-5中的對稱*可知l、3兩頂點間的電阻等於圖預解16-5-7中1、0間的電阻的2倍,即
(1)
同理,圖預解16-5-6中1、3兩頂點間的電阻為
(2)
由(1)、(2)式得等效單環電阻為
(3)
2. 第一問
現在考慮把、、、、按相反的次序,由內向外依次連接的情況.首先將接在外面,求雙環的等效單環電阻〔即(3)式中的〕.這時.由(3)式得到為
其次,在雙環外面接上,這時.三環的等效單環電阻為
由此可得一般公式,環的等效單環電阻可由求出
(4)
於是
由(2)式得出由一個環()、兩個環()直至五個環()構成的線路1、3點間的電阻為
答:所求的五個環的1與3間的等效電阻確為.*畢。
3. 第二問
根據五個組成的圓柱形網絡的對稱*,的l、3兩點等價於的2、4兩點.等價線路如圖預解16-5-8與圖預解16-5-9所示.設二圖等價,求圖預解16-5-9中的即可.
所以
答:所求值為。
解法二:
第一問
圖預解16-5-3可看做的接線圖,其一半如圖預解16-5-10所示,豎直粗線為一短路線.一個環()構成線路的1與0點間的阻值用表示,根據對稱*,。
當接入後,由兩個環(類似圖預解16-5-5)構成線路圖的一半如圖預解16-5-11所示.三個帶*影的電阻與短路線圍成的三角形()中的2與間的阻值就是圖預解16-5-10中1與0間的阻值。其等效電路如圖預解16-5-12所示.圖預解16-5-11(或圖預解16-5-12)中的l與0點間的阻值用表示.有
再將雙環接入,其一半如圖預解16-5-13所示,三個帶*影的電阻與短路線圍成的三角形中含有六個電阻,其2與間的阻值就對應為,參看圖預解16-5-12的等效電路,得
同理,得
由此得
第二問
五個電阻環構成線路後,最外層環()上2點與4點間的等效電阻可借用圖預解16-5-12求得,將圖中換成,五個環構成的線路中2與4間阻值可如下求得:
因
故
知識點:專題七 直流電路和交流電路
題型:計算題