古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的遊戲，其玩法如下：如圖，設有n（）個圓盤依其...

問題詳情：

古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的遊戲，其玩法如下：如圖，設有n（）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現用an表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上至少所需要移動的次數，回答下列問題：

（I）求a1，a2，a3，並寫出an的一個遞推關係；

（II）記，求和（）；

（提示：）

（III）*：．

【回答】

解：(1)              ………2分

事實上，要將個圓盤全部轉移到C柱上，只需先將上面個圓盤轉移到B柱上，需要次轉移，然後將最大的那個圓盤轉移到C柱上，需要一次轉移，再將柱上的個圓盤轉移到C柱上，需要次轉移，所以有       ………4分

（II）由（1）得：， 

所以                      …………6分

      …………9分

（III）（II）得：

     令，則當時            

又，所以對一切有：

 …………12分

（方法二：，從第四項開始放縮求和）

另方面恆成立，所以對一切有

綜上所述有：…

知識點：數列

題型：解答題