問題詳情:
如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內一點P作x軸的垂線交其“輔圓”於點Q,當點Q在點P的上方時,稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若的面積等於,求上輔點Q的座標;
(3)過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交於點T,判斷直線PT與橢圓E的位置關係,並*你的結論.
【回答】
(1);(2);(3)直線PT與橢圓相切,*見解析
【解析】
【分析】
(1)根據定義直接求解即可;(2)設點,,則點,,則可得到,再根據的面積可得到,進一步與橢圓方程聯立即得解;(3)表示出直線的方程,與橢圓方程聯立,再判斷△即可得出結論.
【詳解】
(1)橢圓上的點的上輔點為,
輔圓的半徑為,橢圓長半軸為,
將點代入橢圓方程中,解得,
橢圓的方程為;
(2)設點,,則點,,將兩點座標分別代入輔圓方程和橢圓方程可得,,,
故,即,
又,則,
將與聯立可解得,則,
點的座標為;
(3)直線與橢圓相切,*如下:
設點,,由(2)可知,,
與輔圓相切於點的直線方程為,則點,
直線的方程為:,整理得,
將與橢圓聯立並整理可得,,
由一元二次方程的判別式,可知,上述方程只有一個解,故直線與橢圓相切.
【點睛】
本題以新概念為載體,旨在考查直線與圓、直線與橢圓的位置關係,考查通*通法的運用,計算量較大,對計算能力的要求較高,屬於較難題目.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題