問題詳情:
黃金分割
天文學家開普勒把黃金分割稱為神聖分割,並指出畢達哥拉斯定理(勾股定理)和黃金分割是幾何中的雙寶,前者好比黃金,後者堪稱珠寶,歷史上最早正式在書中使用“黃金分割”這個名稱的是歐姆,19世紀以後“黃金分割”的説法逐漸流行起來,黃金分割被廣泛應用於建築等領域.黃金分割指把一條線段分為兩部分,使其中較長部分與線段總長之比等於較短部分與較長部分之比,該比值為.用下面的方法(如圖①)就可以作出已知線段AB的黃金分割點H:
①以線段AB為邊作正方形ABCD,
②取AD的中點E,連接EB,
③延長DA到F,使EF = EB,
④以線段AF為邊作正方形AFGH,點H就是線段AB的黃金分割點.
以下是*點H就是線段AB的黃金分割點的部分過程:
*:設正方形ABCD的邊長為1 ,則AB=AD=1 ,
任務:
(1)補全題中的*過程;
(2)如圖②,點C為線段AB的黃金分割點,分別以AC、BC為邊在線段AB同側作正方形ACDE和矩形CBFD,連接BD、BE.求*: EAB ~BCD;
(3)如圖③,在正五邊形ABCDE中,對角線AD、AC與EB分別交於點M、N.求*:點M是AD的黃金分割點
【回答】
(1)解:補全*過程如下:
∵四邊形AFGH為正方形,
∴AH=AF=,
∴==,(1分)
∴點H是線段AB 的黃金分割點;(2分)
(2)*:∵四邊形ACDE為正方形,四邊形CBFD為矩形,
∴∠EAB=∠BCD=90°,AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF,(3分)
又∵點C為線段AB的黃金分割點,
∴=,……(4分)
∴=,
∴△EAB∽△BCD;……(5分)
(3)*:∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴AB=AE=DE,∠BAE=∠AED=108°,
∴∠ABE=∠AEB=∠ADE=36°,
∴∠DEM=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°,
∴∠DME=180°-36°-72°=72°,
∴DM=DE=AE,……(7分)
∵∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°,
∴△AME∽△AED,
∴=,……(8分)
∵AE=DE=DM,
∴=,
∴點M是AD的黃金分割點.……(9分)
知識點:勾股定理
題型:解答題