如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC＝CP＝2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，...

问题详情：

如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC＝CP＝2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD.

(1)求*：平面PAD⊥平面PCD；

(2)若E是PC的中点，求三棱锥A­PEB的体积．

【回答】

解：(1) *：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD.

    又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，

   ∴ABCD是正方形，∴AD⊥CD，     。。。。。。2分

   又PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD,       。。。。。。4分

   ∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD     .。。。。。。6分

(2)∵AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC，

∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离 ．     。。。。。。8分

又∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC.

由(1)知有AD⊥平面PCD，∴AD⊥DE.由题意得AD∥BC，故BC⊥DE.

于是，由BC∩PC＝C，可得DE⊥平面PBC.

∴DE＝，PC＝2，

又∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥CP，

∵AD∥BC，∴CP⊥BC，

 ∴S△PEB＝S△PBC＝×＝，       。。。。。。10分

∴VA­PEB＝VD­PEB＝×DE×S△PEB＝.       。。。。。。12分

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：综合题