已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.   (1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；(2...

问题详情：

已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.

    (1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；

(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．

【回答】

解：　(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)上恒成立．

设g(x)＝x－3x2.

当x＝时，g(x)max＝，∴b≥.

（2)由题意知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.

x∈[－1,2]时，f(x)<c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.∵f(1)＝－＋c，

f＝＋c，f(－1)＝＋c，

f(2)＝2＋c.

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c<c2.解得c>2或c<－1，所以c的取值范围为(－∞，

－1)∪(2，＋∞)．

知识点：导数及其应用

题型：解答题