已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．(1)求导数f′(x)；(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点...

问题详情：

已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．

(1)求导数f′(x)；

(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值；

(3)若f(x)在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是单调递增的，求实数k的取值范围．

【回答】

.(1)∵f(x)＝(x2－4)(x＋k)＝x3＋kx2－4x－4k，

∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.

(2)∵x＝－1是函数f(x)的极值点，

∴由f′(－1)＝0，得3－2k－4＝0，

解得k＝－.

∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.

由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.

又f(－2)＝0，f(－1)＝，f()＝－，f(2)＝0，

∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为，最小值为－.

(3)∵f′(x)＝3x2＋2kx－4的图象是开口向上且过点(0，－4)的抛物线，

由已知，得

∴－2≤k≤2，

即k的取值范围为[－2,2]．

知识点：导数及其应用

题型：解答题