如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点，已知A（-3，0）、B（1，0）...

问题详情：

如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点，已知A（-3，0）、B（1，0），过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围时，直线FB与⊙P相交？（3）若直线FB与⊙P的另一个交点为N，当点N是

ADB

的中点时，求点F的坐标；（4）在（3）的条件下，CN交x轴于点M，求CM•CN的值．
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分析：（1）连PC，利用OC2=OA•OB，得OC=

3

，得C的坐标，利用CE是⊙P的切线，求E的坐标，设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，可得直线CE的解析式；（2）当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；（3）先求得N（-1，-2）设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，求直线NB的解析式．解两直线表达式组成的方程组，求交点坐标；（4）连接AC、BC，点N是

ADB

的中点，易*△AMC∽△NBC．所以

MC

BC

=

AC

NC

，即MC•NC=BC•AC．分别求相关线段的长得解．
解答：解：（1）连PC．∵A（-3，0），B（1，0），∴⊙P的直径是4，∴半径R=2，OP=1．又∵CD⊥AB，AB是直径，∴OC2=OA•OB=3×1=3，∴OC=

3

．∴C（0，

3

）．                                           （1分）又∵⊙P的半径是2，OP=1，∴∠PCO=30°．又CE是⊙P的切线，∴PC⊥CE．∴∠PEC=30°．∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．∴E（3，0）．                                             （2分）设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，得

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

．∴直线CE的解析式为y=-

3

3

x+

3

①；（4分）（2）∵m=1时，直线FB与⊙P相切，∴m≠1．∵E（3，0），∴当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；（6分）（3）解法一：∵点N是

ADB

的中点，∴N（-1，-2）．设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，得

k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=1 b=-1

．∴直线NB的解析式为y=x-1 ②．由①，②式得

y=x-1 y=- 3 3 x+ 3

，解得

x= 3 y= 3 -1

．∴F（

3

，

3

-1）．                                       （10分）解法二：过点F作FH⊥BE于H，∵N是

ADB

的中点，则∠ABN=∠FBE=45°，∴∠BFH=45°，∴BH=FH．由（1）知∠CEP=30°，∴HE=

3

FH．∵OE=OB+BH+HE，∴1+FH+

3

FH=3，FH=

3

-1，∴OH=OB+BH=1+（

3

-1）=

3

．∴F（

3

，

3

-1）；（4）连接AC、BC．∵点N是

ADB

的中点，∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，∴△AMC∽△NBC．∴

MC

BC

=

AC

NC

，∴MC•NC=BC•AC．∵OA=OE=3，∴△ACE为等腰三角形．∴AC=CE=

OC

sin∠CEO

=

3

sin30°

=2

3

，BC=

OC2+OB2

=2．∴MC•NC=BC•AC=4

3

．                                      （14分）
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的*质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的*质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．

【回答】

分析：（1）连PC，利用OC2=OA•OB，得OC=

3

，得C的坐标，利用CE是⊙P的切线，求E的坐标，设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，可得直线CE的解析式；（2）当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；（3）先求得N（-1，-2）设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，求直线NB的解析式．解两直线表达式组成的方程组，求交点坐标；（4）连接AC、BC，点N是

ADB

的中点，易*△AMC∽△NBC．所以

MC

BC

=

AC

NC

，即MC•NC=BC•AC．分别求相关线段的长得解．
解答：解：（1）连PC．∵A（-3，0），B（1，0），∴⊙P的直径是4，∴半径R=2，OP=1．又∵CD⊥AB，AB是直径，∴OC2=OA•OB=3×1=3，∴OC=

3

．∴C（0，

3

）．                                           （1分）又∵⊙P的半径是2，OP=1，∴∠PCO=30°．又CE是⊙P的切线，∴PC⊥CE．∴∠PEC=30°．∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．∴E（3，0）．                                             （2分）设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，得

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

．∴直线CE的解析式为y=-

3

3

x+

3

①；（4分）（2）∵m=1时，直线FB与⊙P相切，∴m≠1．∵E（3，0），∴当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交；（6分）（3）解法一：∵点N是

ADB

的中点，∴N（-1，-2）．设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，得

k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=1 b=-1

．∴直线NB的解析式为y=x-1 ②．由①，②式得

y=x-1 y=- 3 3 x+ 3

，解得

x= 3 y= 3 -1

．∴F（

3

，

3

-1）．                                       （10分）解法二：过点F作FH⊥BE于H，∵N是

ADB

的中点，则∠ABN=∠FBE=45°，∴∠BFH=45°，∴BH=FH．由（1）知∠CEP=30°，∴HE=

3

FH．∵OE=OB+BH+HE，∴1+FH+

3

FH=3，FH=

3

-1，∴OH=OB+BH=1+（

3

-1）=

3

．∴F（

3

，

3

-1）；（4）连接AC、BC．∵点N是

ADB

的中点，∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，∴△AMC∽△NBC．∴

MC

BC

=

AC

NC

，∴MC•NC=BC•AC．∵OA=OE=3，∴△ACE为等腰三角形．∴AC=CE=

OC

sin∠CEO

=

3

sin30°

=2

3

，BC=

OC2+OB2

=2．∴MC•NC=BC•AC=4

3

．                                      （14分）
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的*质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的*质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．

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