问题详情:
已知函数.
(1)如果a>0,函数在区间上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
【回答】
考点:
实际问题中导数的意义;函数在某点取得极值的条件.
专题:
压轴题;导数的综合应用.
分析:
(1)因为,x>0,x>0,则,利用函数的单调*和函数f(x)在区间(a,a+)(其中a>0)上存在极值,能求出实数a的取值范围.
(2)不等式,即为,构造函数,利用导数知识能求出实数k的取值范围.
解答:
解:(1)因为,x>0,则,(1分)
当0<x<1时,f'(x)>0;
当x>1时,f'(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在x=1处取得极大值.
因为函数f(x)在区间(a,a+)(其中a>0)上存在极值,
所以解得.
(2)不等式,即为,记,
所以=
令h(x)=x﹣lnx,
则,∵x≥1,∴h'(x)≥0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,∴[h(x)]min=h(1)=1>0,
从而g'(x)>0,
故g(x)在[1,+∞)上也单调递增,所以[g(x)]min=g(1)=2,
所以k≤2.
点评:
本题考查极值的应用,应用满足条件的实数的取值范围的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意构造法和分类讨论法的合理运用.
知识点:导数及其应用
题型:解答题