问题详情:
已知函数,.
(1)若在区间上不是单调函数,求实数的范围;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,设,对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在轴上?请说明理由.
【回答】
试题解析:解:(1)由
得,因在区间上不上单调函数
所以在上最大值大于0,最小值小于0
,
由,得
,且等号不能同时取,,即
恒成立,即
令,求导得
当时,,从而
在上是增函数,
由条件,
假设曲线上存在两点满足题意,则只能在轴两侧
不妨设,则,且
是以为直角顶点的直角三角形,
是否存在等价于方程在且是否有解
①当时,方程为,化简,此方程无解;
②当时,方程为,即
设,则
显然,当时,,即在上为增函数
的值域为,即,当时,方程总有解
对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在轴上
知识点:导数及其应用
题型:解答题