已知定義在R上的奇函數y=f（x）的圖象關於直線x=1對稱，當0＜x≤1時，f（x）=logx，則方程f（x）...

問題詳情：

已知定義在R上的奇函數y=f（x）的圖象關於直線x=1對稱，當0＜x≤1時，f（x）=logx，則方程f（x）﹣1=0在（0，6）內的零點之和爲（　　）

A．8       B．10     C．12     D．16

【回答】

C【考點】函數零點的判定定理．

【分析】可根據定義在R上的奇函數f（x）的圖象關於直線x=1對稱⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1時，f（x）=≥0，數形結合，可求得方程f（x）﹣1=0在區間（0，6）內的所有零點之和．

【解答】解：∵函數y=f（x）的圖象關於直線x=1對稱，

∴f（2﹣x）=f（x），又y=f（x）爲奇函數，

∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）的週期爲4，

∵0＜x≤1時，f（x）=≥0，

∴f（x）=1在（0，1）內有一實根x1，又函數f（x）的圖象關於直線x=1對稱，

∴f（x）=1在（1，2）有一個實根x2，且x1+x2=2；

∵f（x）是奇函數，f（x）的週期爲4，

∴f（x）=1在（2，3），（3，4）上沒有根；在（4，5），（5，6）各有一個實根x3，x4，x3+x4═10；

∴原方程在區間（0，6）內的所有實根之和爲12．

故選：C．

知識點：函數的應用

題型：選擇題