問題詳情:
已知函數f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a爲常數).
(1)當a=-1時,求曲線y=f(x)在x=1處切線的方程;
(2)當a>0時,討論函數y=f(x)在區間(0,1)上的單調*,並寫出相應的單調區間.
【回答】
解 (1)當a=-1時,f(x)=x2+x-ln x,則f′(x)=2x+1-,(2分)
所以f(1)=2,且f′(1)=2.
所以曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程爲:y-2=2(x-1),
即:y=2x.(6分)
(2)由題意得f′(x)=2x-(1+2a)+= (x>0),
由f′(x)=0,得x1=,x2=a,(8分)
①當0<a<時,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<a或<x<1
由f′(x)<0,又知x>0,得a<x<,
所以函數f(x)的單調增區間是(0,a)和,單調減區間是,(10分)
②當a=時,f′(x)=≥0,且僅當x=時,f′(x)=0,
所以函數f(x)在區間(0,1)上是單調增函數.(11分)
③當<a<1時,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<或a<x<1,
由f′(x)<0,又知x>0,得<x<a,
所以函數f(x)的單調增區間是和(a,1),單調減區間是,(13分)
④當a≥1時,由f′(x)>0,又知x>0得0<x<,
由f′(x)<0,又知x>0,得<x<1,
所以函數f(x)的單調增區間是,單調減區間是.(16分)
知識點:基本初等函數I
題型:解答題