問題詳情:
已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=-1.
(1)試求常數a,b,c的值.
(2)試判斷x=±1是函數的極小值點還是極大值點,並說明理由.
【回答】
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.
因爲x=±1是函數f(x)的極值點,
所以x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根,由根與係數的關係,得
又f(1)=-1,
所以a+b+c=-1.③
由①,②,③解得a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
所以f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).
當x<-1或x>1時,f′(x)>0;
當-1<x<1時,f′(x)<0.
所以函數f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數,在(-1,1)上是減函數.
所以當x=-1時,函數取得極大值f(-1)=1,當x=1時,函數取得極小值f(1)=-1.
知識點:導數及其應用
題型:解答題