問題詳情:
設函數f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1處有極值,且f(1)=-1,求a,b,c的值,並求出相應的極值.
【回答】
解:f′(x)=3ax2+2bx+c.因爲x=±1是函數f(x)的極值點,則-1,1是方程f′(x)=0的根,即有
又f(1)=-1,則有a+b+c=-1,
由上述三個方程可解得
此時函數的表達式爲f(x)=x3-x.所以f′(x)=x2-.
令f′(x)=0,得x=±1.
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 1 | ↘ | -1 | ↗ |
由上表可以看出,當x=-1時,函數f(x)有極大值,且f(-1)=-+=1;當x=1時,函數f(x)有極小值,且f(1)=-=-1.
知識點:導數及其應用
題型:解答題