橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別爲F1，F2，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得△F1F...

問題詳情：

橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別爲F1，F2，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得△F1F2P爲等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值範圍是(　　)

A． (，)B． (，1)

C． (，1)D． (，)∪(，1)

【回答】

D

【解析】①當點P與短軸的頂點重合時，

△F1F2P構成以F1F2爲底邊的等腰三角形，

此種情況有2個滿足條件的等腰△F1F2P；

②當△F1F2P構成以F1F2爲一腰的等腰三角形時，

以F2P作爲等腰三角形的底邊爲例，

∵|F1F2|＝|F1P|，

∴點P在以F1爲圓心，半徑爲焦距2c的圓上，

因此，當以F1爲圓心，半徑爲2c的圓與橢圓C有2交點時，

存在2個滿足條件的等腰△F1F2P，

在△F1F2P1中，|F1F2|＋|PF1|＞|PF2|，即2c＋2c＞2a－2c，

由此得知3c＞a.所以離心率e＞.

當e＝時，△F1F2P是等邊三角形，與①中的三角形重複，故e≠.

同理，當F1P爲等腰三角形的底邊時，在e>且e≠時也存在2個滿足條件的等腰△F1F2P.

綜上，共有6個不同的點P使得△F1F2P爲等腰三角形．

綜上所述，離心率的取值範圍是e∈(，)∪(，1)．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題