．已知點M是橢圓C：＋＝1(a>b>0)上一點，F1，F2分別爲C的左、右焦點，且|F1F2|＝4...

問題詳情：

．已知點M是橢圓C：＋＝1(a>b>0)上一點，F1，F2分別爲C的左、右焦點，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面積爲．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設N(0，2)，過點P(－1，－2)作直線l，交橢圓C異於N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別爲k1，k2，*：k1＋k2爲定值．

【回答】

解：(1)在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°＝，得|MF1||MF2|＝．

由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|·(1＋cos 60°)，

解得|MF1|＋|MF2|＝4．

從而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2．

由|F1F2|＝4得c＝2，從而b＝2，

故橢圓C的方程爲＋＝1．

(2)*：當直線l的斜率存在時，設斜率爲k，則其方程爲y＋2＝k(x＋1)，

4．

當直線l的斜率不存在時，可得A(－1，)，

B(－1，－)，得k1＋k2＝4．

綜上，k1＋k2爲定值．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題