問題詳情:
如圖1,正方形OABC的邊長爲12,點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,雙曲線y=(x>0)與邊BC、AD分別交於點D、E,且BD=AE.
(1)求k的值;
(2)如圖2,若點N爲雙曲線y=上正方形OABC內部一動點,過點N作y軸的垂線,交AC於點F,交AB於點G,過點F作x軸的垂線交雙曲線y=於點M.設點N的縱座標爲n.
①若n=8,求*:△BMN是直角三角形;
②若去掉①中的條件“n=8”,△BMN是否仍爲直角三角形?請*你的結論.
【回答】
解:(1)∵正方形OABC的邊長爲12,
∴A(12,0),C(0,12),B(12,12),
∴BC=12,
設點D(m,12),
∴CD=m,
∴BD=BC﹣CD=12﹣m,
∵AE=BD=12﹣m,
∴E(12,12﹣m),
∵D,E在反比例函數y=,
∴k=12m=12(12﹣m),
∴m=6,
∴k=72;
(2)當n=8時,
∴G(12,8),
∵FG∥x軸,
∴點F,N的縱座標爲8,
∵點N在反比例函數y=上,
∴N(9,8),
∵A(12,0),C(0,12),
∴直線AC的解析式爲y=﹣x+12,
∵點F在直線AC上,
∴F(4,8),
∵FM⊥x軸交反比例函數於M,
∴M(4,18),
∵B(12,12),
∴BM2=(12﹣4)2+(12﹣18)2=100,BN2=(12﹣9)2+(12﹣8)2=25,MN2=(9﹣4)2+(8﹣18)2=125,
∴BM2+BN2=MN2,
∴△BMN是直角三角形;
(3)同(2)的方法得,N(,n),M(12﹣n,),
∵B(12,12),
∴BM2=(12﹣n﹣12)2+(﹣12)2=n2+()2﹣24×+144
BN2=(﹣12)2+(n﹣12)2=(﹣12)2+n2﹣24n+144
MN2=(12﹣n﹣)2+(﹣n)2
=(﹣12)2+2n(﹣12)+n2+()2﹣2n×+n2
=(﹣12)2+144﹣24n+n2+()2﹣2n×+n2.
∴BM2+BN2﹣MN2
=n2+()2﹣24×+144+(﹣12)2+n2﹣24n+144﹣[(﹣12)2+144﹣24n+n2+()2﹣2n×+n2]
=n2+()2﹣24×+144+(﹣12)2+n2﹣24n+144﹣(﹣12)2﹣144+24n﹣n2﹣()2+2n×﹣n2
=﹣24×+144+2n×=﹣2(12﹣n)×+144=0,
∴BM2+BN2=MN2,
∴△BMN是直角三角形.
知識點:反比例函數
題型:解答題