問題詳情:
定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)=log23且對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)判斷函數f(x)的奇偶*,並*;
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恆成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
(1)函數f(x)是奇函數,
∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),
即f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,
則有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立.
∴f(x)是奇函數.
(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是單調函數,
∴f(x)在R上是增函數,又由(1),f(x)是奇函數,可知f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),
∴k·3x<9x-3x+2對任意x∈R恆成立,
∴k<3x+-1對任意x∈R恆成立,
而3x+≥2(當且僅當3x=時等號成立),
∴k<2-1,
綜上所述k<2-1時f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恆成立.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題