已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點爲F，短軸的兩個端點分別爲A、B，且|AB|=2，△ABF爲等邊三角形．...

問題詳情：

已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左焦點爲F，短軸的兩個端點分別爲A、B，且|AB|=2，△ABF爲等邊三角形．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，點M在橢圓C上且位於第一象限內，它關於座標原點O的對稱點爲N； 過點M 作x軸的垂線，垂足爲H，直線NH與橢圓C交於另一點J，若，試求以線段NJ爲直徑的圓的方程；

（3）已知l1、l2是過點A的兩條互相垂直的直線，直線l1與圓O：x2+y2=4相交於P、Q兩點，直線l2與橢圓C交於另一點R；求△PQR面積取最大值時，直線l1的方程．

【回答】

【考點】直線與橢圓的位置關係；橢圓的標準方程．

【分析】（1）由橢圓左焦點爲F，短軸的兩個端點分別爲A、B，且|AB|=2，△ABF爲等邊三角形，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．

（2）設M（x0，y0），則由條件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．推匯出，進而求得直線NH的方程：．由．再求出線段HJ的中點座標，由此能求出以線段NJ爲直徑的圓的方程．

（3）當直線l1的斜率爲0時，．當直線l1的斜率存在且不爲0時，設其方程爲y=kx﹣1（k≠0），利用點到直線距離公式、弦長公式、直線垂直、三角形面積公式，結合已知條件能求出結果．

【解答】解：（1）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的左焦點爲F，短軸的兩個端點分別爲A、B，且|AB|=2，△ABF爲等邊三角形．

∴由題意，得：，

∴橢圓C的方程爲．

（2）設M（x0，y0），則由條件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．

從而．

於是由．

再由點M在橢圓C上，得．

所以，

進而求得直線NH的方程：．

由．

進而．

∴以線段NJ爲直徑的圓的方程爲：．

（3）當直線l1的斜率不存在時，直線l2與橢圓C相切於點A，不合題意，

當直線l1的斜率爲0時，由題意得．

當直線l1的斜率存在且不爲0時，設其方程爲y=kx﹣1（k≠0），

則點O到直線l1的距 離爲，從而由幾何意義，得，

由於l2⊥l1，故直線l2的方程爲，由題意得它與橢圓C的交點R的座標爲，

於是．

，

，

當且僅當時，上式取等號．

∵，故當時，，

此時直線l1的方程爲：．（也可寫成．）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題