如圖，在平面直角座標系中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長爲2，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，過點F2...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長爲2，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，過點F2的動直線與橢圓交於點P，Q，過點F2與PQ垂直的直線與橢圓C交於A、B兩點.當直線AB過原點時，PF1＝3PF2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點H(3，0)，記直線PH，QH，AH，BH的斜率依次爲，，，.

①若，求直線PQ的斜率；

②求的最小值.

【回答】

（1）（2）①或②

【分析】

（1）已知條件有，直線AB過原點時，PQ^x軸，所以△PF1F2爲直角三角形，利用橢圓定義和勾股定理可求得，得橢圓方程；

（2）①設直線PQ：，代入到橢圓方程得後化簡，設P(，)，Q(，)，應用韋達定理得，，計算並代入可得；

②分類討論，當這兩條直線中有一條與座標軸垂直時，，

當兩條直線與座標軸都不垂直時，由①知，同理可得，計算後應用基本不等式可得最小值．

【詳解】

解：（1）因爲橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長爲2，所以b＝1，

當直線AB過原點時，PQ^x軸，所以△PF1F2爲直角三角形，

由定義知PF1＋PF2＝2a，而PF1＝3PF2，故，，

由得，化簡得a2＝2，

故橢圓的方程爲.

（2）①設直線PQ：，代入到橢圓方程得：，設P(，)，Q(，)，則，，

所以

所以，

解得：或，即爲直線PQ的斜率.

②當這兩條直線中有一條與座標軸垂直時，，

當兩條直線與座標軸都不垂直時，

由①知，同理可得

故

，

當且僅當即k＝±1時取等號.

綜上，的最小值爲.

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交中定值與最值問題．求橢圓方程時由於已知直線的特殊位置，利用橢圓的定義是解題關鍵，在直線與橢圓相交問題中，採取設而不求思想方法，即設直線方程，設交點座標，直線方程代入橢圓方程整理後應用韋達定理得，代入其他條件化簡變形即可得．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題