問題詳情:
如圖,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分線交於點A,過點A分別作直線CE,CF的垂線,B,D爲垂足.
(1)求*:四邊形ABCD是正方形.
(2)已知AB的長爲6,求(BE+6)(DF+6)的值.
(3)藉助於上面問題的解題思路,解決下列問題:若三角形PQR中,∠QPR=45°,一條高是PH,長度爲6,QH=2,則HR= .
【回答】
(1)*:作AG⊥EF於G,如圖1所示:
則∠AGE=∠AGF=90°,
∵AB⊥CE,AD⊥CF,
∴∠B=∠D=90°=∠C,
∴四邊形ABCD是矩形,
∵∠CEF,∠CFE外角平分線交於點A,
∴AB=AG,AD=AG,
∴AB=AD,
∴四邊形ABCD是正方形;
(2)解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD=6,
在Rt△ABE和Rt△AGE中,,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴BE=BG,
同理:Rt△ADF≌Rt△AGF(HL),
∴DF=GF,∴BE+DF=GE+GF=EF,
設BE=x,DF=y,則CE=BC﹣BE=6﹣x,CF=CD﹣DF=6﹣y,EF=x+y,
在Rt△CEF中,由勾股定理得:(6﹣x)2+(6﹣y)2=(x+y)2,
整理得:xy+6(x+y)=36,
∴(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36=36+36=72;
(3)解:如圖2所示:
把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延長DQ、MR交於點G,
由(1)(2)得:四邊形PMGD是正方形,MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,
∴MG=DG=MP=PH=6,
∴GQ=4,
設MR=HR=a,則GR=6﹣a,QR=a+2,
在Rt△GQR中,由勾股定理得:(6﹣a)2+42=(2+a)2,
解得:a=3,即HR=3;
故*爲:3.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題