設函數f(x)的定義域為(－3,3)，滿足f(－x)＝－f(x)，且對任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f(...

問題詳情：

設函數f(x)的定義域為(－3,3)，滿足f(－x)＝－f(x)，且對任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f(x－y)，當x<0時， f(x)>0，f(1)＝－2.

(1)求f(2)的值；

(2)判斷f(x)的單調*，並*；

(3)若函數g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．

【回答】

 (1) 在f(x)－f(y)＝f(x－y)中，令x＝2，y＝1，代入得：

f(2)－f(1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1)＝－4. ……………3分

(2) f(x)在(－3,3)上單調遞減．*如下：

設－3<x1<x2<3，則x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在(－3,3)上單調遞減．  ……………………7分

(3) 由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，

所以f(x－1)≤－f(3－2x)．

又f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，

所以f(x－1)≤f(2x－3)，          ………………………9分

又f(x)在(－3,3)上單調遞減，所以  -3<2x－3≤ x－1<3 ，即

解得0<x≤2，

故不等式g(x)≤0的解集是(0,2]．   

知識點：*與函數的概念

題型：解答題