問題詳情:
已知拋物線 。
(1)*:該拋物線與x軸總有兩個不同的交點。
(2)設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側),與y軸交於點C,A,B,C三點都在圓P上。①試判斷:不論m取任何正數,圓P是否經過y軸上某個定點?若是,求出該定點的座標,若不是,説明理由; ②若點C關於直線 的對稱點為點E,點D(0,1),連接BE,BD,DE,△BDE的周長記為 ,圓P的半徑記為 ,求 的值。
【回答】
(1)*:當拋物線與x軸相交時,令y=0,得: x2+mx-m-4=0 ∴△=m2+4(2m+4)=m2+8m+16=(m+4)2 ∵m>0, ∴(m+4)2>0, ∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點。 (2)解:①令y=x2+mx-2m-4=(x-2)(x+m+2)=0, 解得:x1=2,x2=-m-2, ∵拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側), ∴A(2,0),B(-2-m,0), ∵拋物線與y軸交於點C, ∴C(0,-2m-4), 設⊙P的圓心為P(x0 , y0), 則x0= = , ∴P( ,y0), 且PA=PC,則PA2=PC2 , 則 解得 , ∴P( , ), ∴⊙P與y軸的另一交點的座標為(0,b) 則 , ∴b=1, ∴⊙P經過y軸上一個定點,該定點座標為(0,1) ②由①知,D(0,1)在⊙P上, ∵E是點C關於直線 的對稱點,且⊙P的圓心P( , ), ∴E(-m,-2m-4)且點E在⊙P上, 即D,E,C均在⊙P上的點,且∠DCE=90°, ∴DE為⊙P的直徑, ∴∠DBE=90°,△DBE為直角三角形, ∵D(0,1),E(-m,-2m-4),B(-2-m,0), ∴DB= , BE= = = ∴BE=2DB, 在Rt△DBE中,設DB=x,則BE=2x, ∴DE= = , ∴△BDE的周長l=DB+BE+DE=x+2x+ = ⊙P的半徑r= = ∴ = =
【考點】一元二次方程根的判別式及應用,二次函數圖像與座標軸的交點問題,兩點間的距離,勾股定理,圓周角定理
【解析】【分析】(1)當拋物線與x軸相交時,即y=0,根據一元二次方程根的判別式△=b2-4ac=m2+4(2m+4)=m2+8m+16=(m+4)2>0,從而得出該拋物線與x軸總有兩個不同的交點. (2)①拋物線與x軸的兩個交點,即y=0,因式分解得出A(2,0),B(-2-m,0);拋物線與y軸交點,即x=0,得出C(0,-2m-4);設⊙P的圓心為P(x0 , y0),由P為AB中點,得出P點橫座標,再PA=PC,根據兩點間距離公式得出P點縱座標,即P( , );設⊙P與y軸的另一交點的座標為(0,b),根據中點座標公式得b=1,即⊙P經過y軸上一個定點,該定點座標為(0,1). ②由①知,D(0,1)在⊙P上,由)①知⊙P的圓心P( , ),由圓周角定理得△DBE為直角三角形,再根據兩點間距離公式得DB= ,BE= ,由BE=2DB,在Rt△DBE中,設DB=x,則BE=2x,根據勾股定理得DE= ,由三角形周長公式得 △BDE的周長l= ,又⊙P的半徑r= ,從而得出 值.
知識點:各地中考
題型:解答題