已知函數f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調遞減區間.(2)若f(x)在區間[-2,2]...

問題詳情：

已知函數f(x)=-x3+3x2+9x+a.

(1)求f(x)的單調遞減區間.

(2)若f(x)在區間[-2,2]上的最大值為20,求它在該區間上的最小值.

【回答】

【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.

令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,

所以函數f(x)的單調遞減區間為(-∞,-1)和(3,+∞).

(2)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,

f(2)=-8+12+18+a=22+a,

所以f(2)>f(-2).

因為在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上單調遞增,又由於f(x)在[-2,-1]上單調遞減,

因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區間[-2,2]上的最大值和最小值,

於是有22+a=20,解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2,

因此f(-1)=1+3-9-2=-7,

即函數f(x)在區間[-2,2]上的最小值為-7.

知識點：導數及其應用

題型：解答題